Լուծեք {l}{-6x+10y=28}{7x-10y=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 10 y = 28 } \\ { 7 x - 10 y = - 21 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=7$$

$$y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-6x+10y=28$$

Հանեք 10y հավասարման երկու կողմից:

$$-6x=-10y+28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$x=-\frac{1}{6}\left(-10y+28\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{6} անգամ -10y+28:

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}$$

Փոխարինեք \frac{5y-14}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x-10y=-21:

$$7\left(\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}\right)-10y=-21$$

Բազմապատկեք 7 անգամ \frac{5y-14}{3}:

$$\frac{35}{3}y-\frac{98}{3}-10y=-21$$

Գումարեք \frac{35y}{3} -10y-ին:

$$\frac{5}{3}y-\frac{98}{3}=-21$$

Գումարեք \frac{98}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{3}\times 7-\frac{14}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{3} անգամ 7:

$$x=\frac{35-14}{3}$$

Գումարեք -\frac{14}{3} \frac{35}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\\-\frac{7}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{6}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{7}{10}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28-21\\\frac{7}{10}\times 28+\frac{3}{5}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=7,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

-6x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -6-ով:

$$7\left(-6\right)x+7\times 10y=7\times 28,-6\times 7x-6\left(-10\right)y=-6\left(-21\right)$$

Պարզեցնել:

$$-42x+70y=196,-42x+60y=126$$

Հանեք -42x+60y=126 -42x+70y=196-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-42x+42x+70y-60y=196-126$$

Գումարեք -42x 42x-ին: -42x-ը և 42x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$70y-60y=196-126$$

Գումարեք 70y -60y-ին:

$$10y=196-126$$

Գումարեք 196 -126-ին:

$$10y=70$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով 7x-10y=-21-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x-10\times 7=-21$$

Բազմապատկեք -10 անգամ 7:

$$7x-70=-21$$

Գումարեք 70 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=49$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=7$$