Լուծեք {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=4$$

$$y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-5y+8x=-18$$

Հանեք 8x հավասարման երկու կողմից:

$$-5y=-8x-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ -8x-18:

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

Փոխարինեք \frac{8x+18}{5}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5y+2x=58:

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{8x+18}{5}:

$$8x+18+2x=58$$

Գումարեք 8x 2x-ին:

$$10x+18=58$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$10x=40$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{8}{5} անգամ 4:

$$y=\frac{32+18}{5}$$

Գումարեք \frac{18}{5} \frac{32}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=10,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=10,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

-5y-ը և 5y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -5-ով:

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

Պարզեցնել:

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

Հանեք -25y-10x=-290 -25y+40x=-90-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

Գումարեք -25y 25y-ին: -25y-ը և 25y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$40x+10x=-90+290$$

Գումարեք 40x 10x-ին:

$$50x=-90+290$$

Գումարեք -90 290-ին:

$$50x=200$$

Բաժանեք երկու կողմերը 50-ի:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով 5y+2x=58-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$5y+2\times 4=58$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$5y+8=58$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$5y=50$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=10,x=4$$