Լուծեք {l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-5x-3y-9=0$$

Գումարեք 9 հավասարման երկու կողմին:

$$-5x-3y=9$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$-5x=3y+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ 9+3y:

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-3y-9}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-18y-54=0:

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-3y-9}{5}:

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

Գումարեք -\frac{12y}{5} -18y-ին:

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

Գումարեք -\frac{36}{5} -54-ին:

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

Գումարեք \frac{306}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{102}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{5} անգամ -3:

$$x=\frac{9-9}{5}$$

Գումարեք -\frac{9}{5} \frac{9}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

-5x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -5-ով:

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

Պարզեցնել:

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

Հանեք -20x+90y+270=0 -20x-12y-36=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

Գումարեք -20x 20x-ին: -20x-ը և 20x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y-90y-36-270=0$$

Գումարեք -12y -90y-ին:

$$-102y-36-270=0$$

Գումարեք -36 -270-ին:

$$-102y-306=0$$

Գումարեք 306 հավասարման երկու կողմին:

$$-102y=306$$

Բաժանեք երկու կողմերը -102-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով 4x-18y-54=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

Բազմապատկեք -18 անգամ -3:

$$4x+54-54=0$$

Գումարեք 54 -54-ին:

$$4x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-3$$