Լուծեք {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$-5x+5y+3y=2x$$

Համակցեք 5y և 3y և ստացեք 8y:

$$-5x+8y=2x$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$-5x+8y-2x=0$$

Համակցեք -5x և -2x և ստացեք -7x:

$$-7x+8y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: 6x+7-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2y-6x-7=-2$$

Հավելել 7-ը երկու կողմերում:

$$2y-6x=-2+7$$

Գումարեք -2 և 7 և ստացեք 5:

$$2y-6x=5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-7x+8y=0$$

Հանեք 8y հավասարման երկու կողմից:

$$-7x=-8y$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{7} անգամ -8y:

$$x=\frac{8}{7}y$$

Փոխարինեք \frac{8y}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -6x+2y=5:

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

Բազմապատկեք -6 անգամ \frac{8y}{7}:

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

Գումարեք -\frac{48y}{7} 2y-ին:

$$-\frac{34}{7}y=5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{34}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{35}{34}$$

Փոխարինեք -\frac{35}{34}-ը y-ով x=\frac{8}{7}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

Բազմապատկեք \frac{8}{7} անգամ -\frac{35}{34}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{20}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$-5x+5y+3y=2x$$

Համակցեք 5y և 3y և ստացեք 8y:

$$-5x+8y=2x$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$-5x+8y-2x=0$$

Համակցեք -5x և -2x և ստացեք -7x:

$$-7x+8y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: 6x+7-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2y-6x-7=-2$$

Հավելել 7-ը երկու կողմերում:

$$2y-6x=-2+7$$

Գումարեք -2 և 7 և ստացեք 5:

$$2y-6x=5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$-5x+5y+3y=2x$$

Համակցեք 5y և 3y և ստացեք 8y:

$$-5x+8y=2x$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$-5x+8y-2x=0$$

Համակցեք -5x և -2x և ստացեք -7x:

$$-7x+8y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: 6x+7-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2y-6x-7=-2$$

Հավելել 7-ը երկու կողմերում:

$$2y-6x=-2+7$$

Գումարեք -2 և 7 և ստացեք 5:

$$2y-6x=5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

-7x-ը և -6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -7-ով:

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

Պարզեցնել:

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

Հանեք 42x-14y=-35 42x-48y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$42x-42x-48y+14y=35$$

Գումարեք 42x -42x-ին: 42x-ը և -42x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-48y+14y=35$$

Գումարեք -48y 14y-ին:

$$-34y=35$$

Բաժանեք երկու կողմերը -34-ի:

$$y=-\frac{35}{34}$$

Փոխարինեք -\frac{35}{34}-ը y-ով -6x+2y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{35}{34}:

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

Գումարեք \frac{35}{17} հավասարման երկու կողմին:

$$-6x=\frac{120}{17}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$x=-\frac{20}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$