Լուծեք {l}{-4x-2y=-22}{-x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 22 } \\ { - x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-4x-2y=-22,-x+2y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-4x-2y=-22$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$-4x=2y-22$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-22\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} անգամ -22+2y:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+11}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+2y=2:

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+2y=2$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{-y+11}{2}:

$$\frac{1}{2}y-\frac{11}{2}+2y=2$$

Գումարեք \frac{y}{2} 2y-ին:

$$\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}=2$$

Գումարեք \frac{11}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{11}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 3:

$$x=\frac{-3+11}{2}$$

Գումարեք \frac{11}{2} -\frac{3}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-4x-2y=-22,-x+2y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-4\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{-4\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{4}{-4\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-22\right)-\frac{1}{5}\times 2\\-\frac{1}{10}\left(-22\right)+\frac{2}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-4x-2y=-22,-x+2y=2$$

-4x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -4-ով:

$$-\left(-4\right)x-\left(-2y\right)=-\left(-22\right),-4\left(-1\right)x-4\times 2y=-4\times 2$$

Պարզեցնել:

$$4x+2y=22,4x-8y=-8$$

Հանեք 4x-8y=-8 4x+2y=22-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x+2y+8y=22+8$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+8y=22+8$$

Գումարեք 2y 8y-ին:

$$10y=22+8$$

Գումարեք 22 8-ին:

$$10y=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով -x+2y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+2\times 3=2$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$-x+6=2$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=3$$