Լուծեք {l}{-4x+y=6}{-5x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 6 } \\ { - 5 x - y = 21 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-4x+y=6$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$-4x=-y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+6\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} անգամ -y+6:

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{y}{4}-\frac{3}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x-y=21:

$$-5\left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}\right)-y=21$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{y}{4}-\frac{3}{2}:

$$-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}-y=21$$

Գումարեք -\frac{5y}{4} -y-ին:

$$-\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}=21$$

Հանեք \frac{15}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{9}{4}y=\frac{27}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{9}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{3}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -6:

$$x=\frac{-3-3}{2}$$

Գումարեք -\frac{3}{2} -\frac{3}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{4}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 21\\\frac{5}{9}\times 6-\frac{4}{9}\times 21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

-4x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -4-ով:

$$-5\left(-4\right)x-5y=-5\times 6,-4\left(-5\right)x-4\left(-1\right)y=-4\times 21$$

Պարզեցնել:

$$20x-5y=-30,20x+4y=-84$$

Հանեք 20x+4y=-84 20x-5y=-30-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$20x-20x-5y-4y=-30+84$$

Գումարեք 20x -20x-ին: 20x-ը և -20x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5y-4y=-30+84$$

Գումարեք -5y -4y-ին:

$$-9y=-30+84$$

Գումարեք -30 84-ին:

$$-9y=54$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով -5x-y=21-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x-\left(-6\right)=21$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-5x=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-6$$