Լուծեք {l}{-3x-y=1}{-2x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 1 } \\ { - 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11} \approx -1.090909091$$

$$y = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-3x-y=1,-2x+3y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-3x-y=1$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$-3x=y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}\left(y+1\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ y+1:

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y-1}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+3y=9:

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+3y=9$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{-y-1}{3}:

$$\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}+3y=9$$

Գումարեք \frac{2y}{3} 3y-ին:

$$\frac{11}{3}y+\frac{2}{3}=9$$

Հանեք \frac{2}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{11}{3}y=\frac{25}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{25}{11}$$

Փոխարինեք \frac{25}{11}-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{25}{11}-\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ \frac{25}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{25}{33}-\frac{1}{3}$$

Գումարեք -\frac{1}{3} -\frac{25}{33}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{12}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{12}{11},y=\frac{25}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-3x-y=1,-2x+3y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{-3\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-3\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{3}{-3\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 9\\-\frac{2}{11}+\frac{3}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{11}\\\frac{25}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{12}{11},y=\frac{25}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-3x-y=1,-2x+3y=9$$

-3x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -3-ով:

$$-2\left(-3\right)x-2\left(-1\right)y=-2,-3\left(-2\right)x-3\times 3y=-3\times 9$$

Պարզեցնել:

$$6x+2y=-2,6x-9y=-27$$

Հանեք 6x-9y=-27 6x+2y=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+2y+9y=-2+27$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+9y=-2+27$$

Գումարեք 2y 9y-ին:

$$11y=-2+27$$

Գումարեք -2 27-ին:

$$11y=25$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=\frac{25}{11}$$

Փոխարինեք \frac{25}{11}-ը y-ով -2x+3y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+3\times \frac{25}{11}=9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{25}{11}:

$$-2x+\frac{75}{11}=9$$

Հանեք \frac{75}{11} հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=\frac{24}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{12}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{12}{11},y=\frac{25}{11}$$