Լուծեք {l}{-3x-2y=6}{3x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 2 y = 6 } \\ { 3 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-3x-2y=6$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$-3x=2y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ 6+2y:

$$x=-\frac{2}{3}y-2$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{3}-2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+3y=-9:

$$3\left(-\frac{2}{3}y-2\right)+3y=-9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{2y}{3}-2:

$$-2y-6+3y=-9$$

Գումարեք -2y 3y-ին:

$$y-6=-9$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\left(-3\right)-2$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ -3:

$$x=2-2$$

Գումարեք -2 2-ին:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{2}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\\6-9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

-3x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -3-ով:

$$3\left(-3\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 6,-3\times 3x-3\times 3y=-3\left(-9\right)$$

Պարզեցնել:

$$-9x-6y=18,-9x-9y=27$$

Հանեք -9x-9y=27 -9x-6y=18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-9x+9x-6y+9y=18-27$$

Գումարեք -9x 9x-ին: -9x-ը և 9x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y+9y=18-27$$

Գումարեք -6y 9y-ին:

$$3y=18-27$$

Գումարեք 18 -27-ին:

$$3y=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով 3x+3y=-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+3\left(-3\right)=-9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -3:

$$3x-9=-9$$

Գումարեք 9 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-3$$