Լուծեք {l}{-3x+9y=27}{-5x-8y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 9 y = 27 } \\ { - 5 x - 8 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-3x+9y=27$$

Հանեք 9y հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-9y+27$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}\left(-9y+27\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -9y+27:

$$x=3y-9$$

Փոխարինեք -9+3y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x-8y=-1:

$$-5\left(3y-9\right)-8y=-1$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -9+3y:

$$-15y+45-8y=-1$$

Գումարեք -15y -8y-ին:

$$-23y+45=-1$$

Հանեք 45 հավասարման երկու կողմից:

$$-23y=-46$$

Բաժանեք երկու կողմերը -23-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=3y-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=3\times 2-9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 2:

$$x=6-9$$

Գումարեք -9 6-ին:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{9}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}&-\frac{3}{23}\\\frac{5}{69}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}\times 27-\frac{3}{23}\left(-1\right)\\\frac{5}{69}\times 27-\frac{1}{23}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

-3x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -3-ով:

$$-5\left(-3\right)x-5\times 9y=-5\times 27,-3\left(-5\right)x-3\left(-8\right)y=-3\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$15x-45y=-135,15x+24y=3$$

Հանեք 15x+24y=3 15x-45y=-135-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x-45y-24y=-135-3$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-45y-24y=-135-3$$

Գումարեք -45y -24y-ին:

$$-69y=-135-3$$

Գումարեք -135 -3-ին:

$$-69y=-138$$

Բաժանեք երկու կողմերը -69-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով -5x-8y=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x-8\times 2=-1$$

Բազմապատկեք -8 անգամ 2:

$$-5x-16=-1$$

Գումարեք 16 հավասարման երկու կողմին:

$$-5x=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=2$$