Լուծեք {l}{-3x+3y=-9}{6x-y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 9 } \\ { 6 x - y = - 12 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-3x+3y=-9$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-3y-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-9\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -3y-9:

$$x=y+3$$

Փոխարինեք y+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-y=-12:

$$6\left(y+3\right)-y=-12$$

Բազմապատկեք 6 անգամ y+3:

$$6y+18-y=-12$$

Գումարեք 6y -y-ին:

$$5y+18=-12$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$5y=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով x=y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-6+3$$

Գումարեք 3 -6-ին:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\\\frac{2}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

-3x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -3-ով:

$$6\left(-3\right)x+6\times 3y=6\left(-9\right),-3\times 6x-3\left(-1\right)y=-3\left(-12\right)$$

Պարզեցնել:

$$-18x+18y=-54,-18x+3y=36$$

Հանեք -18x+3y=36 -18x+18y=-54-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-18x+18x+18y-3y=-54-36$$

Գումարեք -18x 18x-ին: -18x-ը և 18x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$18y-3y=-54-36$$

Գումարեք 18y -3y-ին:

$$15y=-54-36$$

Գումարեք -54 -36-ին:

$$15y=-90$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով 6x-y=-12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-\left(-6\right)=-12$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-6$$