Լուծեք {l}{-3x+2y=6}{3x+5y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 2 y = 6 } \\ { 3 x + 5 y = 36 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-3x+2y=6,3x+5y=36$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-3x+2y=6$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-2y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y+6\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -2y+6:

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Փոխարինեք \frac{2y}{3}-2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+5y=36:

$$3\left(\frac{2}{3}y-2\right)+5y=36$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{2y}{3}-2:

$$2y-6+5y=36$$

Գումարեք 2y 5y-ին:

$$7y-6=36$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$7y=42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=\frac{2}{3}y-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\times 6-2$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ 6:

$$x=4-2$$

Գումարեք -2 4-ին:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-3x+2y=6,3x+5y=36$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-3\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{-3\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 5-2\times 3}&-\frac{3}{-3\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{21}\times 6+\frac{2}{21}\times 36\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-3x+2y=6,3x+5y=36$$

-3x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -3-ով:

$$3\left(-3\right)x+3\times 2y=3\times 6,-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 36$$

Պարզեցնել:

$$-9x+6y=18,-9x-15y=-108$$

Հանեք -9x-15y=-108 -9x+6y=18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-9x+9x+6y+15y=18+108$$

Գումարեք -9x 9x-ին: -9x-ը և 9x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y+15y=18+108$$

Գումարեք 6y 15y-ին:

$$21y=18+108$$

Գումարեք 18 108-ին:

$$21y=126$$

Բաժանեք երկու կողմերը 21-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով 3x+5y=36-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+5\times 6=36$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 6:

$$3x+30=36$$

Հանեք 30 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=6$$