Լուծեք {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-3x+15y=59$$

Հանեք 15y հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-15y+59$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -15y+59:

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

Փոխարինեք 5y-\frac{59}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+4y=17:

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 5y-\frac{59}{3}:

$$15y-59+4y=17$$

Գումարեք 15y 4y-ին:

$$19y-59=17$$

Գումարեք 59 հավասարման երկու կողմին:

$$19y=76$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=5y-\frac{59}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 4:

$$x=20-\frac{59}{3}$$

Գումարեք -\frac{59}{3} 20-ին:

$$x=\frac{1}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

-3x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -3-ով:

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

Պարզեցնել:

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

Հանեք -9x-12y=-51 -9x+45y=177-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

Գումարեք -9x 9x-ին: -9x-ը և 9x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$45y+12y=177+51$$

Գումարեք 45y 12y-ին:

$$57y=177+51$$

Գումարեք 177 51-ին:

$$57y=228$$

Բաժանեք երկու կողմերը 57-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 3x+4y=17-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+4\times 4=17$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 4:

$$3x+16=17$$

Հանեք 16 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{3},y=4$$