Լուծեք {l}{-2x+4y=-4}{x-3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = - 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-6$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-2x+4y=-4$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-4y-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -4y-4:

$$x=2y+2$$

Փոխարինեք 2+2y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-3y=6:

$$2y+2-3y=6$$

Գումարեք 2y -3y-ին:

$$-y+2=6$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=2y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=2\left(-4\right)+2$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -4:

$$x=-8+2$$

Գումարեք 2 -8-ին:

$$x=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-6,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-4\right)-2\times 6\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)-6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-6,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

-2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -2-ով:

$$-2x+4y=-4,-2x-2\left(-3\right)y=-2\times 6$$

Պարզեցնել:

$$-2x+4y=-4,-2x+6y=-12$$

Հանեք -2x+6y=-12 -2x+4y=-4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x+4y-6y=-4+12$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y-6y=-4+12$$

Գումարեք 4y -6y-ին:

$$-2y=-4+12$$

Գումարեք -4 12-ին:

$$-2y=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x-3y=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-3\left(-4\right)=6$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -4:

$$x+12=6$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$x=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-6,y=-4$$