Լուծեք {l}{-2x+3y=13}{6x-5y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=7$$

$$y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-2x+3y=13$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-3y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -3y+13:

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3y-13}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-5y=-3:

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-5y=-3$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{3y-13}{2}:

$$9y-39-5y=-3$$

Գումարեք 9y -5y-ին:

$$4y-39=-3$$

Գումարեք 39 հավասարման երկու կողմին:

$$4y=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\times 9-\frac{13}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ 9:

$$x=\frac{27-13}{2}$$

Գումարեք -\frac{13}{2} \frac{27}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{2}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 13+\frac{3}{8}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=7,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

-2x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -2-ով:

$$6\left(-2\right)x+6\times 3y=6\times 13,-2\times 6x-2\left(-5\right)y=-2\left(-3\right)$$

Պարզեցնել:

$$-12x+18y=78,-12x+10y=6$$

Հանեք -12x+10y=6 -12x+18y=78-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-12x+12x+18y-10y=78-6$$

Գումարեք -12x 12x-ին: -12x-ը և 12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$18y-10y=78-6$$

Գումարեք 18y -10y-ին:

$$8y=78-6$$

Գումարեք 78 -6-ին:

$$8y=72$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով 6x-5y=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-5\times 9=-3$$

Բազմապատկեք -5 անգամ 9:

$$6x-45=-3$$

Գումարեք 45 հավասարման երկու կողմին:

$$6x=42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=9$$