Լուծեք {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել B, A-ի համար

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն B-ի համար՝ առանձնացնելով B-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-15B-3A=-14$$

Գումարեք 3A հավասարման երկու կողմին:

$$-15B=3A-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{15} անգամ 3A-14:

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

Փոխարինեք -\frac{A}{5}+\frac{14}{15}-ը B-ով մյուս հավասարման մեջ՝ B-5A=7:

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

Գումարեք -\frac{A}{5} -5A-ին:

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

Հանեք \frac{14}{15} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{26}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$A=-\frac{7}{6}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{6}-ը A-ով B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես B-ի համար:

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ -\frac{7}{6}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

Գումարեք \frac{14}{15} \frac{7}{30}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$B=\frac{7}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի B և A տարրերը:

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

-15B-ը և B-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -15-ով:

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

Պարզեցնել:

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

Հանեք -15B+75A=-105 -15B-3A=-14-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

Գումարեք -15B 15B-ին: -15B-ը և 15B-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3A-75A=-14+105$$

Գումարեք -3A -75A-ին:

$$-78A=-14+105$$

Գումարեք -14 105-ին:

$$-78A=91$$

Բաժանեք երկու կողմերը -78-ի:

$$A=-\frac{7}{6}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{6}-ը A-ով B-5A=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես B-ի համար:

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -\frac{7}{6}:

$$B+\frac{35}{6}=7$$

Հանեք \frac{35}{6} հավասարման երկու կողմից:

$$B=\frac{7}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$