Լուծեք {l}{-12x+10y=-10}{6x-7y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x + 10 y = - 10 } \\ { 6 x - 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-12x+10y=-10$$

Հանեք 10y հավասարման երկու կողմից:

$$-12x=-10y-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$x=-\frac{1}{12}\left(-10y-10\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{12} անգամ -10y-10:

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}$$

Փոխարինեք \frac{5+5y}{6}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-7y=-5:

$$6\left(\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}\right)-7y=-5$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{5+5y}{6}:

$$5y+5-7y=-5$$

Գումարեք 5y -7y-ին:

$$-2y+5=-5$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{5}{6}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{6} անգամ 5:

$$x=\frac{25+5}{6}$$

Գումարեք \frac{5}{6} \frac{25}{6}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{10}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\\-\frac{6}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{12}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}&-\frac{5}{12}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\left(-10\right)-\frac{5}{12}\left(-5\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

-12x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -12-ով:

$$6\left(-12\right)x+6\times 10y=6\left(-10\right),-12\times 6x-12\left(-7\right)y=-12\left(-5\right)$$

Պարզեցնել:

$$-72x+60y=-60,-72x+84y=60$$

Հանեք -72x+84y=60 -72x+60y=-60-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-72x+72x+60y-84y=-60-60$$

Գումարեք -72x 72x-ին: -72x-ը և 72x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$60y-84y=-60-60$$

Գումարեք 60y -84y-ին:

$$-24y=-60-60$$

Գումարեք -60 -60-ին:

$$-24y=-120$$

Բաժանեք երկու կողմերը -24-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով 6x-7y=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-7\times 5=-5$$

Բազմապատկեք -7 անգամ 5:

$$6x-35=-5$$

Գումարեք 35 հավասարման երկու կողմին:

$$6x=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=5$$