Լուծեք {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-1$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-10y+9x=-9$$

Հանեք 9x հավասարման երկու կողմից:

$$-10y=-9x-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{10} անգամ -9x-9:

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

Փոխարինեք \frac{9+9x}{10}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 10y+5x=-5:

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

Բազմապատկեք 10 անգամ \frac{9+9x}{10}:

$$9x+9+5x=-5$$

Գումարեք 9x 5x-ին:

$$14x+9=-5$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$14x=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 14-ի:

$$x=-1$$

Փոխարինեք -1-ը x-ով y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

Բազմապատկեք \frac{9}{10} անգամ -1:

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

Գումարեք \frac{9}{10} -\frac{9}{10}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=0,x=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=0,x=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

-10y-ը և 10y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 10-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -10-ով:

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

Պարզեցնել:

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

Հանեք -100y-50x=50 -100y+90x=-90-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

Գումարեք -100y 100y-ին: -100y-ը և 100y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$90x+50x=-90-50$$

Գումարեք 90x 50x-ին:

$$140x=-90-50$$

Գումարեք -90 -50-ին:

$$140x=-140$$

Բաժանեք երկու կողմերը 140-ի:

$$x=-1$$

Փոխարինեք -1-ը x-ով 10y+5x=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -1:

$$10y-5=-5$$

Գումարեք 5 հավասարման երկու կողմին:

$$10y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=0,x=-1$$