Լուծեք {l}{-10x-6y=12}{4x+7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 6 y = 12 } \\ { 4 x + 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-10x-6y=12$$

Գումարեք 6y հավասարման երկու կողմին:

$$-10x=6y+12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$x=-\frac{1}{10}\left(6y+12\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{10} անգամ 12+6y:

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-3y-6}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+7y=-14:

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}\right)+7y=-14$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-3y-6}{5}:

$$-\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}+7y=-14$$

Գումարեք -\frac{12y}{5} 7y-ին:

$$\frac{23}{5}y-\frac{24}{5}=-14$$

Գումարեք \frac{24}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{23}{5}y=-\frac{46}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{23}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{5}\left(-2\right)-\frac{6}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{5} անգամ -2:

$$x=\frac{6-6}{5}$$

Գումարեք -\frac{6}{5} \frac{6}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{10}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&-\frac{3}{23}\\\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 12-\frac{3}{23}\left(-14\right)\\\frac{2}{23}\times 12+\frac{5}{23}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

-10x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -10-ով:

$$4\left(-10\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 12,-10\times 4x-10\times 7y=-10\left(-14\right)$$

Պարզեցնել:

$$-40x-24y=48,-40x-70y=140$$

Հանեք -40x-70y=140 -40x-24y=48-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-40x+40x-24y+70y=48-140$$

Գումարեք -40x 40x-ին: -40x-ը և 40x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-24y+70y=48-140$$

Գումարեք -24y 70y-ին:

$$46y=48-140$$

Գումարեք 48 -140-ին:

$$46y=-92$$

Բաժանեք երկու կողմերը 46-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով 4x+7y=-14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+7\left(-2\right)=-14$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -2:

$$4x-14=-14$$

Գումարեք 14 հավասարման երկու կողմին:

$$4x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-2$$