Լուծեք {l}{-10x+2y=-8}{10x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 2 y = - 8 } \\ { 10 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-10x+2y=-8,10x-y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-10x+2y=-8$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$-10x=-2y-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$x=-\frac{1}{10}\left(-2y-8\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{10} անգամ -2y-8:

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}$$

Փոխարինեք \frac{4+y}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 10x-y=9:

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}\right)-y=9$$

Բազմապատկեք 10 անգամ \frac{4+y}{5}:

$$2y+8-y=9$$

Գումարեք 2y -y-ին:

$$y+8=9$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1+4}{5}$$

Գումարեք \frac{4}{5} \frac{1}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-10x+2y=-8,10x-y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-2\times 10}&-\frac{2}{-10\left(-1\right)-2\times 10}\\-\frac{10}{-10\left(-1\right)-2\times 10}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-2\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\times 9\\-8+9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-10x+2y=-8,10x-y=9$$

-10x-ը և 10x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 10-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -10-ով:

$$10\left(-10\right)x+10\times 2y=10\left(-8\right),-10\times 10x-10\left(-1\right)y=-10\times 9$$

Պարզեցնել:

$$-100x+20y=-80,-100x+10y=-90$$

Հանեք -100x+10y=-90 -100x+20y=-80-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-100x+100x+20y-10y=-80+90$$

Գումարեք -100x 100x-ին: -100x-ը և 100x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$20y-10y=-80+90$$

Գումարեք 20y -10y-ին:

$$10y=-80+90$$

Գումարեք -80 90-ին:

$$10y=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 10x-y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$10x-1=9$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$10x=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$