Լուծեք {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-500$$

$$y=1000$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-0.5x+0.1y=350$$

Հանեք \frac{y}{10} հավասարման երկու կողմից:

$$-0.5x=-0.1y+350$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{y}{10}+350:

$$x=0.2y-700$$

Փոխարինեք \frac{y}{5}-700-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 0.4x+0.2y=0:

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

Բազմապատկեք 0.4 անգամ \frac{y}{5}-700:

$$0.08y-280+0.2y=0$$

Գումարեք \frac{2y}{25} \frac{y}{5}-ին:

$$0.28y-280=0$$

Գումարեք 280 հավասարման երկու կողմին:

$$0.28y=280$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.28-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1000$$

Փոխարինեք 1000-ը y-ով x=0.2y-700-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=0.2\times 1000-700$$

Բազմապատկեք 0.2 անգամ 1000:

$$x=200-700$$

Գումարեք -700 200-ին:

$$x=-500$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-500,y=1000$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-500,y=1000$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

-\frac{x}{2}-ը և \frac{2x}{5}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 0.4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -0.5-ով:

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

Պարզեցնել:

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

Հանեք -0.2x-0.1y=0 -0.2x+0.04y=140-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

Գումարեք -\frac{x}{5} \frac{x}{5}-ին: -\frac{x}{5}-ը և \frac{x}{5}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.04y+0.1y=140$$

Գումարեք \frac{y}{25} \frac{y}{10}-ին:

$$0.14y=140$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.14-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1000$$

Փոխարինեք 1000-ը y-ով 0.4x+0.2y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

Բազմապատկեք 0.2 անգամ 1000:

$$0.4x+200=0$$

Հանեք 200 հավասարման երկու կողմից:

$$0.4x=-200$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.4-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-500$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-500,y=1000$$