Լուծեք {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x-2 y+5-ով բազմապատկելու համար:

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x-1 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Հանեք xy երկու կողմերից:

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Համակցեք xy և -xy և ստացեք 0:

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Համակցեք 5x և -2x և ստացեք 3x:

$$3x-2y-10=-y-2$$

Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$3x-2y-10+y=-2$$

Համակցեք -2y և y և ստացեք -y:

$$3x-y-10=-2$$

Հավելել 10-ը երկու կողմերում:

$$3x-y=-2+10$$

Գումարեք -2 և 10 և ստացեք 8:

$$3x-y=8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y-3 x+4-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x+7 y-4-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Հանեք xy երկու կողմերից:

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Համակցեք yx և -xy և ստացեք 0:

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Համակցեք -3x և 4x և ստացեք x:

$$4y+x-12=7y-28$$

Հանեք 7y երկու կողմերից:

$$4y+x-12-7y=-28$$

Համակցեք 4y և -7y և ստացեք -3y:

$$-3y+x-12=-28$$

Հավելել 12-ը երկու կողմերում:

$$-3y+x=-28+12$$

Գումարեք -28 և 12 և ստացեք -16:

$$-3y+x=-16$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-y=8$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=y+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ y+8:

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Փոխարինեք \frac{8+y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-3y=-16:

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

Գումարեք \frac{y}{3} -3y-ին:

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

Հանեք \frac{8}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{8}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 7:

$$x=\frac{7+8}{3}$$

Գումարեք \frac{8}{3} \frac{7}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x-2 y+5-ով բազմապատկելու համար:

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x-1 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Հանեք xy երկու կողմերից:

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Համակցեք xy և -xy և ստացեք 0:

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Համակցեք 5x և -2x և ստացեք 3x:

$$3x-2y-10=-y-2$$

Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$3x-2y-10+y=-2$$

Համակցեք -2y և y և ստացեք -y:

$$3x-y-10=-2$$

Հավելել 10-ը երկու կողմերում:

$$3x-y=-2+10$$

Գումարեք -2 և 10 և ստացեք 8:

$$3x-y=8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y-3 x+4-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x+7 y-4-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Հանեք xy երկու կողմերից:

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Համակցեք yx և -xy և ստացեք 0:

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Համակցեք -3x և 4x և ստացեք x:

$$4y+x-12=7y-28$$

Հանեք 7y երկու կողմերից:

$$4y+x-12-7y=-28$$

Համակցեք 4y և -7y և ստացեք -3y:

$$-3y+x-12=-28$$

Հավելել 12-ը երկու կողմերում:

$$-3y+x=-28+12$$

Գումարեք -28 և 12 և ստացեք -16:

$$-3y+x=-16$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x-2 y+5-ով բազմապատկելու համար:

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x-1 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Հանեք xy երկու կողմերից:

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Համակցեք xy և -xy և ստացեք 0:

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Համակցեք 5x և -2x և ստացեք 3x:

$$3x-2y-10=-y-2$$

Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$3x-2y-10+y=-2$$

Համակցեք -2y և y և ստացեք -y:

$$3x-y-10=-2$$

Հավելել 10-ը երկու կողմերում:

$$3x-y=-2+10$$

Գումարեք -2 և 10 և ստացեք 8:

$$3x-y=8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y-3 x+4-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x+7 y-4-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Հանեք xy երկու կողմերից:

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Համակցեք yx և -xy և ստացեք 0:

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Համակցեք -3x և 4x և ստացեք x:

$$4y+x-12=7y-28$$

Հանեք 7y երկու կողմերից:

$$4y+x-12-7y=-28$$

Համակցեք 4y և -7y և ստացեք -3y:

$$-3y+x-12=-28$$

Հավելել 12-ը երկու կողմերում:

$$-3y+x=-28+12$$

Գումարեք -28 և 12 և ստացեք -16:

$$-3y+x=-16$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

3x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

Պարզեցնել:

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

Հանեք 3x-9y=-48 3x-y=8-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-y+9y=8+48$$

Գումարեք -y 9y-ին:

$$8y=8+48$$

Գումարեք 8 48-ին:

$$8y=56$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով x-3y=-16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-3\times 7=-16$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 7:

$$x-21=-16$$

Գումարեք 21 հավասարման երկու կողմին:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=7$$