Լուծեք {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

Լուծել A, B-ի համար

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ A+B 3-ով բազմապատկելու համար:

$$3A+3B-B=6$$

Համակցեք 3B և -B և ստացեք 2B:

$$3A+2B=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հաշվեք 2-ի 3 աստիճանը և ստացեք 9:

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2A+B 9-ով բազմապատկելու համար:

$$18A+9B-B=42$$

Համակցեք 9B և -B և ստացեք 8B:

$$18A+8B=42$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն A-ի համար՝ առանձնացնելով A-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3A+2B=6$$

Հանեք 2B հավասարման երկու կողմից:

$$3A=-2B+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2B+6:

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

Փոխարինեք -\frac{2B}{3}+2-ը A-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 18A+8B=42:

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

Բազմապատկեք 18 անգամ -\frac{2B}{3}+2:

$$-12B+36+8B=42$$

Գումարեք -12B 8B-ին:

$$-4B+36=42$$

Հանեք 36 հավասարման երկու կողմից:

$$-4B=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$B=-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{2}-ը B-ով A=-\frac{2}{3}B+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես A-ի համար:

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ -\frac{3}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$A=1+2$$

Գումարեք 2 1-ին:

$$A=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ A+B 3-ով բազմապատկելու համար:

$$3A+3B-B=6$$

Համակցեք 3B և -B և ստացեք 2B:

$$3A+2B=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հաշվեք 2-ի 3 աստիճանը և ստացեք 9:

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2A+B 9-ով բազմապատկելու համար:

$$18A+9B-B=42$$

Համակցեք 9B և -B և ստացեք 8B:

$$18A+8B=42$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի A և B տարրերը:

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ A+B 3-ով բազմապատկելու համար:

$$3A+3B-B=6$$

Համակցեք 3B և -B և ստացեք 2B:

$$3A+2B=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հաշվեք 2-ի 3 աստիճանը և ստացեք 9:

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2A+B 9-ով բազմապատկելու համար:

$$18A+9B-B=42$$

Համակցեք 9B և -B և ստացեք 8B:

$$18A+8B=42$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

3A-ը և 18A-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 18-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

Պարզեցնել:

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

Հանեք 54A+24B=126 54A+36B=108-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

Գումարեք 54A -54A-ին: 54A-ը և -54A-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$36B-24B=108-126$$

Գումարեք 36B -24B-ին:

$$12B=108-126$$

Գումարեք 108 -126-ին:

$$12B=-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$B=-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{2}-ը B-ով 18A+8B=42-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես A-ի համար:

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

Բազմապատկեք 8 անգամ -\frac{3}{2}:

$$18A-12=42$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$18A=54$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$A=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$