Լուծեք {l}{text{(1)}-5x+2y=15}{text{(I)}x+3y=32}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } - 5 x + 2 y = 15 } \\ { \text { (I) } x + 3 y = 32 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{19}{17} = 1\frac{2}{17} \approx 1.117647059$$

$$y = \frac{175}{17} = 10\frac{5}{17} \approx 10.294117647$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-5x+2y=15$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$-5x=-2y+15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2y+15\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ -2y+15:

$$x=\frac{2}{5}y-3$$

Փոխարինեք \frac{2y}{5}-3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+3y=32:

$$\frac{2}{5}y-3+3y=32$$

Գումարեք \frac{2y}{5} 3y-ին:

$$\frac{17}{5}y-3=32$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{17}{5}y=35$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{17}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{175}{17}$$

Փոխարինեք \frac{175}{17}-ը y-ով x=\frac{2}{5}y-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{175}{17}-3$$

Բազմապատկեք \frac{2}{5} անգամ \frac{175}{17}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{70}{17}-3$$

Գումարեք -3 \frac{70}{17}-ին:

$$x=\frac{19}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-2}&-\frac{2}{-5\times 3-2}\\-\frac{1}{-5\times 3-2}&-\frac{5}{-5\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 15+\frac{2}{17}\times 32\\\frac{1}{17}\times 15+\frac{5}{17}\times 32\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{17}\\\frac{175}{17}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

-5x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -5-ով:

$$-5x+2y=15,-5x-5\times 3y=-5\times 32$$

Պարզեցնել:

$$-5x+2y=15,-5x-15y=-160$$

Հանեք -5x-15y=-160 -5x+2y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-5x+5x+2y+15y=15+160$$

Գումարեք -5x 5x-ին: -5x-ը և 5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+15y=15+160$$

Գումարեք 2y 15y-ին:

$$17y=15+160$$

Գումարեք 15 160-ին:

$$17y=175$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$y=\frac{175}{17}$$

Փոխարինեք \frac{175}{17}-ը y-ով x+3y=32-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+3\times \frac{175}{17}=32$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{175}{17}:

$$x+\frac{525}{17}=32$$

Հանեք \frac{525}{17} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{19}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$