Լուծեք {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=4$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել \frac{4}{3}-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 2\left(3x-4\right)-ով՝ 3x-4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2y+2=3x-4$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$2y+2-3x=-4$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$2y-3x=-4-2$$

Հանեք 2 -4-ից և ստացեք -6:

$$2y-3x=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -\frac{11}{3}-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3x+11-ով:

$$5x+y=3x+11$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$5x+y-3x=11$$

Համակցեք 5x և -3x և ստացեք 2x:

$$2x+y=11$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2y-3x=-6$$

Գումարեք 3x հավասարման երկու կողմին:

$$2y=3x-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -6+3x:

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Փոխարինեք \frac{3x}{2}-3-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+2x=11:

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Գումարեք \frac{3x}{2} 2x-ին:

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{7}{2}x=14$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y=\frac{3}{2}x-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ 4:

$$y=6-3$$

Գումարեք -3 6-ին:

$$y=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=3,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել \frac{4}{3}-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 2\left(3x-4\right)-ով՝ 3x-4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2y+2=3x-4$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$2y+2-3x=-4$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$2y-3x=-4-2$$

Հանեք 2 -4-ից և ստացեք -6:

$$2y-3x=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -\frac{11}{3}-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3x+11-ով:

$$5x+y=3x+11$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$5x+y-3x=11$$

Համակցեք 5x և -3x և ստացեք 2x:

$$2x+y=11$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=3,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել \frac{4}{3}-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 2\left(3x-4\right)-ով՝ 3x-4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2y+2=3x-4$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$2y+2-3x=-4$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$2y-3x=-4-2$$

Հանեք 2 -4-ից և ստացեք -6:

$$2y-3x=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -\frac{11}{3}-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3x+11-ով:

$$5x+y=3x+11$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$5x+y-3x=11$$

Համակցեք 5x և -3x և ստացեք 2x:

$$2x+y=11$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

2y-ը և y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Պարզեցնել:

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Հանեք 2y+4x=22 2y-3x=-6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Գումարեք 2y -2y-ին: 2y-ը և -2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3x-4x=-6-22$$

Գումարեք -3x -4x-ին:

$$-7x=-6-22$$

Գումարեք -6 -22-ին:

$$-7x=-28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y+2x=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+2\times 4=11$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$y+8=11$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$y=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=3,x=4$$