Լուծեք {l}{x/4+y/9=1/6}{2x+3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 9 } = \frac { 1 } { 6 } } \\ { 2 x + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{6},2x+3y=-5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{6}$$

Հանեք \frac{y}{9} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{6}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 4-ով:

$$x=4\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{6}\right)$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{y}{9}+\frac{1}{6}:

$$x=-\frac{4}{9}y+\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{4y}{9}+\frac{2}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=-5:

$$2\left(-\frac{4}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=-5$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{4y}{9}+\frac{2}{3}:

$$-\frac{8}{9}y+\frac{4}{3}+3y=-5$$

Գումարեք -\frac{8y}{9} 3y-ին:

$$\frac{19}{9}y+\frac{4}{3}=-5$$

Հանեք \frac{4}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{19}{9}y=-\frac{19}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=-\frac{4}{9}y+\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{4}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{9} անգամ -3:

$$x=\frac{4+2}{3}$$

Գումարեք \frac{2}{3} \frac{4}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{6},2x+3y=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{9}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{9}\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{9}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{9}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{9}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{9}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{9}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{9}\times 2}&-\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{9}\times 2}\\-\frac{2}{\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{9}\times 2}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{9}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{108}{19}&-\frac{4}{19}\\-\frac{72}{19}&\frac{9}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{108}{19}\times \frac{1}{6}-\frac{4}{19}\left(-5\right)\\-\frac{72}{19}\times \frac{1}{6}+\frac{9}{19}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{6},2x+3y=-5$$

\frac{x}{4}-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{1}{4}-ով:

$$2\times \frac{1}{4}x+2\times \frac{1}{9}y=2\times \frac{1}{6},\frac{1}{4}\times 2x+\frac{1}{4}\times 3y=\frac{1}{4}\left(-5\right)$$

Պարզեցնել:

$$\frac{1}{2}x+\frac{2}{9}y=\frac{1}{3},\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{5}{4}$$

Հանեք \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{5}{4} \frac{1}{2}x+\frac{2}{9}y=\frac{1}{3}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{2}{9}y-\frac{3}{4}y=\frac{1}{3}+\frac{5}{4}$$

Գումարեք \frac{x}{2} -\frac{x}{2}-ին: \frac{x}{2}-ը և -\frac{x}{2}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{2}{9}y-\frac{3}{4}y=\frac{1}{3}+\frac{5}{4}$$

Գումարեք \frac{2y}{9} -\frac{3y}{4}-ին:

$$-\frac{19}{36}y=\frac{1}{3}+\frac{5}{4}$$

Գումարեք \frac{1}{3} \frac{5}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$-\frac{19}{36}y=\frac{19}{12}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{19}{36}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով 2x+3y=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\left(-3\right)=-5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -3:

$$2x-9=-5$$

Գումարեք 9 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=-3$$