Լուծեք {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=12$$

$$y=15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 3,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x+3y=105$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 30-ով՝ 6,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x-6\times 2y=-120$$

Բազմապատկեք -6 և 2-ով և ստացեք -12:

$$5x-12y=-120$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+3y=105$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-3y+105$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -3y+105:

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{5}+21-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-12y=-120:

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{3y}{5}+21:

$$-3y+105-12y=-120$$

Գումարեք -3y -12y-ին:

$$-15y+105=-120$$

Հանեք 105 հավասարման երկու կողմից:

$$-15y=-225$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=15$$

Փոխարինեք 15-ը y-ով x=-\frac{3}{5}y+21-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{5} անգամ 15:

$$x=-9+21$$

Գումարեք 21 -9-ին:

$$x=12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 3,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x+3y=105$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 30-ով՝ 6,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x-6\times 2y=-120$$

Բազմապատկեք -6 և 2-ով և ստացեք -12:

$$5x-12y=-120$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=12,y=15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 3,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x+3y=105$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 30-ով՝ 6,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x-6\times 2y=-120$$

Բազմապատկեք -6 և 2-ով և ստացեք -12:

$$5x-12y=-120$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Հանեք 5x-12y=-120 5x+3y=105-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y+12y=105+120$$

Գումարեք 3y 12y-ին:

$$15y=105+120$$

Գումարեք 105 120-ին:

$$15y=225$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$y=15$$

Փոխարինեք 15-ը y-ով 5x-12y=-120-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-12\times 15=-120$$

Բազմապատկեք -12 անգամ 15:

$$5x-180=-120$$

Գումարեք 180 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=60$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=15$$