Լուծեք {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 36-ով՝ 9,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

Լուծեք 3x+4y=1-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+4y=1$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-4y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9y^{2}+4x^{2}=36:

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}-ի քառակուսի:

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}:

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Գումարեք 9y^{2} \frac{64}{9}y^{2}-ին:

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Հանեք 36 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-ը a-ով, 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2-ը b-ով և -\frac{320}{9}-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}:

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Բազմապատկեք -\frac{580}{9} անգամ -\frac{320}{9}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Գումարեք \frac{1024}{81} \frac{185600}{81}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Հանեք 2304-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 թվի հակադրությունը \frac{32}{9} է:

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}:

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

Այժմ լուծել y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք \frac{32}{9} 48-ին:

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Բաժանեք \frac{464}{9}-ը \frac{290}{9}-ի վրա՝ բազմապատկելով \frac{464}{9}-ը \frac{290}{9}-ի հակադարձով:

$$y=\frac{8}{5}$$

Այժմ լուծել y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 48 \frac{32}{9}-ից:

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Բաժանեք -\frac{400}{9}-ը \frac{290}{9}-ի վրա՝ բազմապատկելով -\frac{400}{9}-ը \frac{290}{9}-ի հակադարձով:

$$y=-\frac{40}{29}$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ \frac{8}{5} և -\frac{40}{29}: Փոխարինեք \frac{8}{5}-ը y-ով x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ \frac{8}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

Գումարեք -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} \frac{1}{3}-ին:

$$x=-\frac{9}{5}$$

Այժմ փոխարինեք -\frac{40}{29}-ը y-ով x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ -\frac{40}{29}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

Գումարեք -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) \frac{1}{3}-ին:

$$x=\frac{63}{29}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$