Լուծեք {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 20-ով՝ 2,5,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 10 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 y-5-ով բազմապատկելու համար:

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Հանեք 20 20-ից և ստացեք 0:

$$10x+4y=5x+20$$

Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$10x+4y-5x=20$$

Համակցեք 10x և -5x և ստացեք 5x:

$$5x+4y=20$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$3x+3y=x-1+9$$

Գումարեք -1 և 9 և ստացեք 8:

$$3x+3y=x+8$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$3x+3y-x=8$$

Համակցեք 3x և -x և ստացեք 2x:

$$2x+3y=8$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+4y=20$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-4y+20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -4y+20:

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

Փոխարինեք -\frac{4y}{5}+4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=8:

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{4y}{5}+4:

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

Գումարեք -\frac{8y}{5} 3y-ին:

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{7}{5}y=0$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով x=-\frac{4}{5}y+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 20-ով՝ 2,5,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 10 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 y-5-ով բազմապատկելու համար:

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Հանեք 20 20-ից և ստացեք 0:

$$10x+4y=5x+20$$

Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$10x+4y-5x=20$$

Համակցեք 10x և -5x և ստացեք 5x:

$$5x+4y=20$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$3x+3y=x-1+9$$

Գումարեք -1 և 9 և ստացեք 8:

$$3x+3y=x+8$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$3x+3y-x=8$$

Համակցեք 3x և -x և ստացեք 2x:

$$2x+3y=8$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 20-ով՝ 2,5,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 10 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 y-5-ով բազմապատկելու համար:

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Հանեք 20 20-ից և ստացեք 0:

$$10x+4y=5x+20$$

Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$10x+4y-5x=20$$

Համակցեք 10x և -5x և ստացեք 5x:

$$5x+4y=20$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$3x+3y=x-1+9$$

Գումարեք -1 և 9 և ստացեք 8:

$$3x+3y=x+8$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$3x+3y-x=8$$

Համակցեք 3x և -x և ստացեք 2x:

$$2x+3y=8$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

5x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

Պարզեցնել:

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

Հանեք 10x+15y=40 10x+8y=40-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y-15y=40-40$$

Գումարեք 8y -15y-ին:

$$-7y=40-40$$

Գումարեք 40 -40-ին:

$$-7y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով 2x+3y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=0$$