Լուծեք {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=58$$

$$y=-23$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Համակցեք 3y և 2y և ստացեք 5y:

$$3x+5y-3-2=54$$

Հանեք 2 -3-ից և ստացեք -5:

$$3x+5y-5=54$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում:

$$3x+5y=54+5$$

Գումարեք 54 և 5 և ստացեք 59:

$$3x+5y=59$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-2+3y+3=48$$

Գումարեք -2 և 3 և ստացեք 1:

$$2x+1+3y=48$$

Հանեք 1 երկու կողմերից:

$$2x+3y=48-1$$

Հանեք 1 48-ից և ստացեք 47:

$$2x+3y=47$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+5y=59$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-5y+59$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -5y+59:

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-5y+59}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=47:

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-5y+59}{3}:

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

Գումարեք -\frac{10y}{3} 3y-ին:

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

Հանեք \frac{118}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -3-ով:

$$y=-23$$

Փոխարինեք -23-ը y-ով x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{3} անգամ -23:

$$x=\frac{115+59}{3}$$

Գումարեք \frac{59}{3} \frac{115}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=58$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=58,y=-23$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Համակցեք 3y և 2y և ստացեք 5y:

$$3x+5y-3-2=54$$

Հանեք 2 -3-ից և ստացեք -5:

$$3x+5y-5=54$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում:

$$3x+5y=54+5$$

Գումարեք 54 և 5 և ստացեք 59:

$$3x+5y=59$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-2+3y+3=48$$

Գումարեք -2 և 3 և ստացեք 1:

$$2x+1+3y=48$$

Հանեք 1 երկու կողմերից:

$$2x+3y=48-1$$

Հանեք 1 48-ից և ստացեք 47:

$$2x+3y=47$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=58,y=-23$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Համակցեք 3y և 2y և ստացեք 5y:

$$3x+5y-3-2=54$$

Հանեք 2 -3-ից և ստացեք -5:

$$3x+5y-5=54$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում:

$$3x+5y=54+5$$

Գումարեք 54 և 5 և ստացեք 59:

$$3x+5y=59$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-2+3y+3=48$$

Գումարեք -2 և 3 և ստացեք 1:

$$2x+1+3y=48$$

Հանեք 1 երկու կողմերից:

$$2x+3y=48-1$$

Հանեք 1 48-ից և ստացեք 47:

$$2x+3y=47$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

Պարզեցնել:

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

Հանեք 6x+9y=141 6x+10y=118-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10y-9y=118-141$$

Գումարեք 10y -9y-ին:

$$y=118-141$$

Գումարեք 118 -141-ին:

$$y=-23$$

Փոխարինեք -23-ը y-ով 2x+3y=47-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -23:

$$2x-69=47$$

Գումարեք 69 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=116$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=58$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=58,y=-23$$