Լուծեք {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -2-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 3\left(y+2\right)-ով՝ y+2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3=2y+4$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+3-2y=4$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$3x-2y=4-3$$

Հանեք 3 4-ից և ստացեք 1:

$$3x-2y=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 1-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 3\left(y-1\right)-ով՝ y-1,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-6=y-1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$3x-6-y=-1$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում:

$$3x-y=-1+6$$

Գումարեք -1 և 6 և ստացեք 5:

$$3x-y=5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y=1$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 2y+1:

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2y+1}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-y=5:

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{2y+1}{3}:

$$2y+1-y=5$$

Գումարեք 2y -y-ին:

$$y+1=5$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ 4:

$$x=\frac{8+1}{3}$$

Գումարեք \frac{1}{3} \frac{8}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -2-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 3\left(y+2\right)-ով՝ y+2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3=2y+4$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+3-2y=4$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$3x-2y=4-3$$

Հանեք 3 4-ից և ստացեք 1:

$$3x-2y=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 1-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 3\left(y-1\right)-ով՝ y-1,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-6=y-1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$3x-6-y=-1$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում:

$$3x-y=-1+6$$

Գումարեք -1 և 6 և ստացեք 5:

$$3x-y=5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -2-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 3\left(y+2\right)-ով՝ y+2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3=2y+4$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+3-2y=4$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$3x-2y=4-3$$

Հանեք 3 4-ից և ստացեք 1:

$$3x-2y=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 1-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 3\left(y-1\right)-ով՝ y-1,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-6=y-1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$3x-6-y=-1$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում:

$$3x-y=-1+6$$

Գումարեք -1 և 6 և ստացեք 5:

$$3x-y=5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Հանեք 3x-y=5 3x-2y=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y+y=1-5$$

Գումարեք -2y y-ին:

$$-y=1-5$$

Գումարեք 1 -5-ին:

$$-y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 3x-y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-4=5$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=4$$