Լուծեք {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 9x+4y-ով բազմապատկելու համար:

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 5x-11-ով բազմապատկելու համար:

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Համակցեք 18x և -15x և ստացեք 3x:

$$3x+8y+33=78-6y$$

Հավելել 6y-ը երկու կողմերում:

$$3x+8y+33+6y=78$$

Համակցեք 8y և 6y և ստացեք 14y:

$$3x+14y+33=78$$

Հանեք 33 երկու կողմերից:

$$3x+14y=78-33$$

Հանեք 33 78-ից և ստացեք 45:

$$3x+14y=45$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+14y=45$$

Հանեք 14y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-14y+45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -14y+45:

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

Փոխարինեք -\frac{14y}{3}+15-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 13x-7y=-8:

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

Բազմապատկեք 13 անգամ -\frac{14y}{3}+15:

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

Գումարեք -\frac{182y}{3} -7y-ին:

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

Հանեք 195 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{203}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{14}{3}y+15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

Բազմապատկեք -\frac{14}{3} անգամ 3:

$$x=-14+15$$

Գումարեք 15 -14-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 9x+4y-ով բազմապատկելու համար:

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 5x-11-ով բազմապատկելու համար:

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Համակցեք 18x և -15x և ստացեք 3x:

$$3x+8y+33=78-6y$$

Հավելել 6y-ը երկու կողմերում:

$$3x+8y+33+6y=78$$

Համակցեք 8y և 6y և ստացեք 14y:

$$3x+14y+33=78$$

Հանեք 33 երկու կողմերից:

$$3x+14y=78-33$$

Հանեք 33 78-ից և ստացեք 45:

$$3x+14y=45$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 9x+4y-ով բազմապատկելու համար:

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 5x-11-ով բազմապատկելու համար:

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Համակցեք 18x և -15x և ստացեք 3x:

$$3x+8y+33=78-6y$$

Հավելել 6y-ը երկու կողմերում:

$$3x+8y+33+6y=78$$

Համակցեք 8y և 6y և ստացեք 14y:

$$3x+14y+33=78$$

Հանեք 33 երկու կողմերից:

$$3x+14y=78-33$$

Հանեք 33 78-ից և ստացեք 45:

$$3x+14y=45$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

3x-ը և 13x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 13-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

Պարզեցնել:

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

Հանեք 39x-21y=-24 39x+182y=585-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

Գումարեք 39x -39x-ին: 39x-ը և -39x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$182y+21y=585+24$$

Գումարեք 182y 21y-ին:

$$203y=585+24$$

Գումարեք 585 24-ին:

$$203y=609$$

Բաժանեք երկու կողմերը 203-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 13x-7y=-8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$13x-7\times 3=-8$$

Բազմապատկեք -7 անգամ 3:

$$13x-21=-8$$

Գումարեք 21 հավասարման երկու կողմին:

$$13x=13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=3$$