Լուծեք {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 50-ով՝ 25,10-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\times 27x+45y=50400$$

Բազմապատկեք 2 և 27-ով և ստացեք 54:

$$54x+45y=50400$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$54x+45y=50400$$

Հանեք 45y հավասարման երկու կողմից:

$$54x=-45y+50400$$

Բաժանեք երկու կողմերը 54-ի:

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{54} անգամ -45y+50400:

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028:

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

Բազմապատկեք \frac{11}{10} անգամ -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}:

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

Գումարեք -\frac{11y}{12} \frac{43y}{5}-ին:

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Հանեք \frac{3080}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{461}{60}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{80}{461}$$

Փոխարինեք \frac{80}{461}-ը y-ով x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{6} անգամ \frac{80}{461}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Գումարեք \frac{2800}{3} -\frac{200}{1383}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{430200}{461}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 50-ով՝ 25,10-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\times 27x+45y=50400$$

Բազմապատկեք 2 և 27-ով և ստացեք 54:

$$54x+45y=50400$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 50-ով՝ 25,10-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\times 27x+45y=50400$$

Բազմապատկեք 2 և 27-ով և ստացեք 54:

$$54x+45y=50400$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

54x-ը և \frac{11x}{10}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{11}{10}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 54-ով:

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Պարզեցնել:

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

Հանեք \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Գումարեք \frac{297x}{5} -\frac{297x}{5}-ին: \frac{297x}{5}-ը և -\frac{297x}{5}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Գումարեք \frac{99y}{2} -\frac{2322y}{5}-ին:

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

Գումարեք 55440 -55512-ին:

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{4149}{10}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{80}{461}$$

Փոխարինեք \frac{80}{461}-ը y-ով \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

Բազմապատկեք \frac{43}{5} անգամ \frac{80}{461}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

Հանեք \frac{688}{461} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{10}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{430200}{461}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$