Լուծեք {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 100-ով:

$$108x+110y=100800$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Նվազեցնել \frac{110}{100} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 10-ը:

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Նվազեցնել \frac{108}{100} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$108x+110y=100800$$

Հանեք 110y հավասարման երկու կողմից:

$$108x=-110y+100800$$

Բաժանեք երկու կողմերը 108-ի:

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{108} անգամ -110y+100800:

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028:

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

Բազմապատկեք \frac{11}{10} անգամ -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}:

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

Գումարեք -\frac{121y}{108} \frac{27y}{25}-ին:

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Հանեք \frac{3080}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{109}{2700}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Փոխարինեք -\frac{3600}{109}-ը y-ով x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{55}{54} անգամ -\frac{3600}{109}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

Գումարեք \frac{2800}{3} \frac{11000}{327}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{105400}{109}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 100-ով:

$$108x+110y=100800$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Նվազեցնել \frac{110}{100} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 10-ը:

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Նվազեցնել \frac{108}{100} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 100-ով:

$$108x+110y=100800$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Նվազեցնել \frac{110}{100} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 10-ը:

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Նվազեցնել \frac{108}{100} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x-ը և \frac{11x}{10}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{11}{10}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 108-ով:

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

Պարզեցնել:

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

Հանեք \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 \frac{594}{5}x+121y=110880-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Գումարեք \frac{594x}{5} -\frac{594x}{5}-ին: \frac{594x}{5}-ը և -\frac{594x}{5}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Գումարեք 121y -\frac{2916y}{25}-ին:

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

Գումարեք 110880 -111024-ին:

$$\frac{109}{25}y=-144$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{109}{25}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Փոխարինեք -\frac{3600}{109}-ը y-ով \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

Բազմապատկեք \frac{27}{25} անգամ -\frac{3600}{109}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

Գումարեք \frac{3888}{109} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{10}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{105400}{109}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$