Լուծեք {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

Գումարեք x հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 5-ով:

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Բազմապատկեք 5 անգամ x+\frac{1}{2}:

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք 5x+\frac{5}{2}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -\frac{1}{2}y+3x=10:

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 5x+\frac{5}{2}:

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

Գումարեք -\frac{5x}{2} 3x-ին:

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

Գումարեք \frac{5}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$x=\frac{45}{2}$$

Փոխարինեք \frac{45}{2}-ը x-ով y=5x+\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{45}{2}:

$$y=\frac{225+5}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{2} \frac{225}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=115$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

\frac{y}{5}-ը և -\frac{y}{2}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -\frac{1}{2}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{1}{5}-ով:

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

Պարզեցնել:

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

Հանեք -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Գումարեք -\frac{y}{10} \frac{y}{10}-ին: -\frac{y}{10}-ը և \frac{y}{10}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Գումարեք \frac{x}{2} -\frac{3x}{5}-ին:

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

Գումարեք -\frac{1}{4} -2-ին:

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -10-ով:

$$x=\frac{45}{2}$$

Փոխարինեք \frac{45}{2}-ը x-ով -\frac{1}{2}y+3x=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{45}{2}:

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

Հանեք \frac{135}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$y=115$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$