Լուծեք {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 2,12,3,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-5y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Հանեք 8x երկու կողմերից:

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Համակցեք 6x և -8x և ստացեք -2x:

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Հավելել 20y-ը երկու կողմերում:

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Համակցեք -2y և 20y և ստացեք 18y:

$$-2x-1+18y=-21$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$-2x+18y=-21+1$$

Գումարեք -21 և 1 և ստացեք -20:

$$-2x+18y=-20$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-2x+18y=-20$$

Հանեք 18y հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-18y-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -18y-20:

$$x=9y+10$$

Փոխարինեք 9y+10-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}:

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 9y+10:

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Գումարեք \frac{9y}{5} \frac{2y}{7}-ին:

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{73}{35}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=9y+10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=9\left(-1\right)+10$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -1:

$$x=-9+10$$

Գումարեք 10 -9-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 2,12,3,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-5y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Հանեք 8x երկու կողմերից:

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Համակցեք 6x և -8x և ստացեք -2x:

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Հավելել 20y-ը երկու կողմերում:

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Համակցեք -2y և 20y և ստացեք 18y:

$$-2x-1+18y=-21$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$-2x+18y=-21+1$$

Գումարեք -21 և 1 և ստացեք -20:

$$-2x+18y=-20$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 2,12,3,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-5y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Հանեք 8x երկու կողմերից:

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Համակցեք 6x և -8x և ստացեք -2x:

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Հավելել 20y-ը երկու կողմերում:

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Համակցեք -2y և 20y և ստացեք 18y:

$$-2x-1+18y=-21$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$-2x+18y=-21+1$$

Գումարեք -21 և 1 և ստացեք -20:

$$-2x+18y=-20$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

-2x-ը և \frac{x}{5}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{1}{5}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -2-ով:

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

Պարզեցնել:

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

Հանեք -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Գումարեք -\frac{2x}{5} \frac{2x}{5}-ին: -\frac{2x}{5}-ը և \frac{2x}{5}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Գումարեք \frac{18y}{5} \frac{4y}{7}-ին:

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

Գումարեք -4 -\frac{6}{35}-ին:

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{146}{35}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{7} անգամ -1:

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

Գումարեք \frac{2}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 5-ով:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-1$$