Լուծեք {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 15 երկու կողմերից:

$$y-3x=10-15$$

Հանեք 15 10-ից և ստացեք -5:

$$y-3x=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$6-4x-y=0$$

Հանեք 6 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-4x-y=-6$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-3x=-5$$

Գումարեք 3x հավասարման երկու կողմին:

$$y=3x-5$$

Փոխարինեք 3x-5-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -y-4x=-6:

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

Բազմապատկեք -1 անգամ 3x-5:

$$-3x+5-4x=-6$$

Գումարեք -3x -4x-ին:

$$-7x+5=-6$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-7x=-11$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=\frac{11}{7}$$

Փոխարինեք \frac{11}{7}-ը x-ով y=3x-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{11}{7}:

$$y=\frac{33}{7}-5$$

Գումարեք -5 \frac{33}{7}-ին:

$$y=-\frac{2}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 15 երկու կողմերից:

$$y-3x=10-15$$

Հանեք 15 10-ից և ստացեք -5:

$$y-3x=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$6-4x-y=0$$

Հանեք 6 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-4x-y=-6$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 15 երկու կողմերից:

$$y-3x=10-15$$

Հանեք 15 10-ից և ստացեք -5:

$$y-3x=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$6-4x-y=0$$

Հանեք 6 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-4x-y=-6$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

y-ը և -y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

Պարզեցնել:

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

Հանեք -y-4x=-6 -y+3x=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

Գումարեք -y y-ին: -y-ը և y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3x+4x=5+6$$

Գումարեք 3x 4x-ին:

$$7x=5+6$$

Գումարեք 5 6-ին:

$$7x=11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{11}{7}$$

Փոխարինեք \frac{11}{7}-ը x-ով -y-4x=-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{11}{7}:

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

Գումարեք \frac{44}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$-y=\frac{2}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-\frac{2}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$