Լուծեք {c}{y=.5x+2}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { y = .5 x + 2 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-2$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 0.5x երկու կողմերից:

$$y-0.5x=2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-0.5x=2$$

Գումարեք \frac{x}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$y=0.5x+2$$

Փոխարինեք \frac{x}{2}+2-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3y+x=1:

$$3\left(0.5x+2\right)+x=1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{x}{2}+2:

$$1.5x+6+x=1$$

Գումարեք \frac{3x}{2} x-ին:

$$2.5x+6=1$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$2.5x=-5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 2.5-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-2$$

Փոխարինեք -2-ը x-ով y=0.5x+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=0.5\left(-2\right)+2$$

Բազմապատկեք 0.5 անգամ -2:

$$y=-1+2$$

Գումարեք 2 -1-ին:

$$y=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=1,x=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 0.5x երկու կողմերից:

$$y-0.5x=2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4\times 2+0.2\\-1.2\times 2+0.4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=1,x=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 0.5x երկու կողմերից:

$$y-0.5x=2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

y-ը և 3y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3\times 2,3y+x=1$$

Պարզեցնել:

$$3y-1.5x=6,3y+x=1$$

Հանեք 3y+x=1 3y-1.5x=6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3y-3y-1.5x-x=6-1$$

Գումարեք 3y -3y-ին: 3y-ը և -3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-1.5x-x=6-1$$

Գումարեք -\frac{3x}{2} -x-ին:

$$-2.5x=6-1$$

Գումարեք 6 -1-ին:

$$-2.5x=5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -2.5-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-2$$

Փոխարինեք -2-ը x-ով 3y+x=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$3y-2=1$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$3y=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=1,x=-2$$