Լուծեք {c}{y=1/3x+7}{x+y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 7 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-3$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Գումարեք \frac{x}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{1}{3}x+7$$

Փոխարինեք \frac{x}{3}+7-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+x=3:

$$\frac{1}{3}x+7+x=3$$

Գումարեք \frac{x}{3} x-ին:

$$\frac{4}{3}x+7=3$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{4}{3}x=-4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{4}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-3$$

Փոխարինեք -3-ը x-ով y=\frac{1}{3}x+7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{1}{3}\left(-3\right)+7$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -3:

$$y=-1+7$$

Գումարեք 7 -1-ին:

$$y=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=6,x=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{4}\times 7+\frac{3}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=6,x=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Հանեք y+x=3 y-\frac{1}{3}x=7-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

Գումարեք -\frac{x}{3} -x-ին:

$$-\frac{4}{3}x=7-3$$

Գումարեք 7 -3-ին:

$$-\frac{4}{3}x=4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{4}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-3$$

Փոխարինեք -3-ը x-ով y+x=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-3=3$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$y=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=6,x=-3$$