Լուծեք {c}{y+4x=26}{2x+3y=28}

$$\left. \begin{array} { c } { y + 4 x = 26 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=5$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+4x=26,3y+2x=28$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+4x=26$$

Հանեք 4x հավասարման երկու կողմից:

$$y=-4x+26$$

Փոխարինեք -4x+26-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3y+2x=28:

$$3\left(-4x+26\right)+2x=28$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -4x+26:

$$-12x+78+2x=28$$

Գումարեք -12x 2x-ին:

$$-10x+78=28$$

Հանեք 78 հավասարման երկու կողմից:

$$-10x=-50$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$x=5$$

Փոխարինեք 5-ը x-ով y=-4x+26-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-4\times 5+26$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 5:

$$y=-20+26$$

Գումարեք 26 -20-ին:

$$y=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=6,x=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+4x=26,3y+2x=28$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\28\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&4\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\28\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\28\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4\times 3}&-\frac{4}{2-4\times 3}\\-\frac{3}{2-4\times 3}&\frac{1}{2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\28\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\28\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 26+\frac{2}{5}\times 28\\\frac{3}{10}\times 26-\frac{1}{10}\times 28\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=6,x=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+4x=26,3y+2x=28$$

y-ը և 3y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$3y+3\times 4x=3\times 26,3y+2x=28$$

Պարզեցնել:

$$3y+12x=78,3y+2x=28$$

Հանեք 3y+2x=28 3y+12x=78-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3y-3y+12x-2x=78-28$$

Գումարեք 3y -3y-ին: 3y-ը և -3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12x-2x=78-28$$

Գումարեք 12x -2x-ին:

$$10x=78-28$$

Գումարեք 78 -28-ին:

$$10x=50$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=5$$

Փոխարինեք 5-ը x-ով 3y+2x=28-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$3y+2\times 5=28$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 5:

$$3y+10=28$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$3y=18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=6,x=5$$