Լուծեք {c}{x-y=3}{7x+6y=-31}

$$\left. \begin{array} { c } { x - y = 3 } \\ { 7 x + 6 y = - 31 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=3,7x+6y=-31$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=3$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$x=y+3$$

Փոխարինեք y+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x+6y=-31:

$$7\left(y+3\right)+6y=-31$$

Բազմապատկեք 7 անգամ y+3:

$$7y+21+6y=-31$$

Գումարեք 7y 6y-ին:

$$13y+21=-31$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$13y=-52$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-4+3$$

Գումարեք 3 -4-ին:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-y=3,7x+6y=-31$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-31\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\7&6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-31\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-31\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{6-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{6-\left(-7\right)}&\frac{1}{6-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-31\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{7}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-31\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 3+\frac{1}{13}\left(-31\right)\\-\frac{7}{13}\times 3+\frac{1}{13}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-y=3,7x+6y=-31$$

x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$7x+7\left(-1\right)y=7\times 3,7x+6y=-31$$

Պարզեցնել:

$$7x-7y=21,7x+6y=-31$$

Հանեք 7x+6y=-31 7x-7y=21-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$7x-7x-7y-6y=21+31$$

Գումարեք 7x -7x-ին: 7x-ը և -7x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-7y-6y=21+31$$

Գումարեք -7y -6y-ին:

$$-13y=21+31$$

Գումարեք 21 31-ին:

$$-13y=52$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով 7x+6y=-31-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x+6\left(-4\right)=-31$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -4:

$$7x-24=-31$$

Գումարեք 24 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-4$$