Լուծեք {c}{x=y+9}{7x-2y=57}

$$\left. \begin{array} { c } { x = y + 9 } \\ { 7 x - 2 y = 57 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{39}{5} = 7\frac{4}{5} = 7.8$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x-y=9$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=9,7x-2y=57$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=9$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$x=y+9$$

Փոխարինեք y+9-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x-2y=57:

$$7\left(y+9\right)-2y=57$$

Բազմապատկեք 7 անգամ y+9:

$$7y+63-2y=57$$

Գումարեք 7y -2y-ին:

$$5y+63=57$$

Հանեք 63 հավասարման երկու կողմից:

$$5y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-\frac{6}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{6}{5}-ը y-ով x=y+9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{6}{5}+9$$

Գումարեք 9 -\frac{6}{5}-ին:

$$x=\frac{39}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{39}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x-y=9$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-y=9,7x-2y=57$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{-2-\left(-7\right)}&\frac{1}{-2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{7}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 9+\frac{1}{5}\times 57\\-\frac{7}{5}\times 9+\frac{1}{5}\times 57\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{39}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x-y=9$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-y=9,7x-2y=57$$

x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$7x+7\left(-1\right)y=7\times 9,7x-2y=57$$

Պարզեցնել:

$$7x-7y=63,7x-2y=57$$

Հանեք 7x-2y=57 7x-7y=63-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$7x-7x-7y+2y=63-57$$

Գումարեք 7x -7x-ին: 7x-ը և -7x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-7y+2y=63-57$$

Գումարեք -7y 2y-ին:

$$-5y=63-57$$

Գումարեք 63 -57-ին:

$$-5y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=-\frac{6}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{6}{5}-ը y-ով 7x-2y=57-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x-2\left(-\frac{6}{5}\right)=57$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{6}{5}:

$$7x+\frac{12}{5}=57$$

Հանեք \frac{12}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$7x=\frac{273}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{39}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{39}{5},y=-\frac{6}{5}$$