Լուծեք {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=53$$

$$y=17$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-3y=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 y-5-ով բազմապատկելու համար:

$$x-5=4y-20$$

Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$x-5-4y=-20$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում:

$$x-4y=-20+5$$

Գումարեք -20 և 5 և ստացեք -15:

$$x-4y=-15$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-3y=2$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$x=3y+2$$

Փոխարինեք 3y+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-4y=-15:

$$3y+2-4y=-15$$

Գումարեք 3y -4y-ին:

$$-y+2=-15$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-17$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=17$$

Փոխարինեք 17-ը y-ով x=3y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=3\times 17+2$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 17:

$$x=51+2$$

Գումարեք 2 51-ին:

$$x=53$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=53,y=17$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-3y=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 y-5-ով բազմապատկելու համար:

$$x-5=4y-20$$

Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$x-5-4y=-20$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում:

$$x-4y=-20+5$$

Գումարեք -20 և 5 և ստացեք -15:

$$x-4y=-15$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=53,y=17$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-3y=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 y-5-ով բազմապատկելու համար:

$$x-5=4y-20$$

Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$x-5-4y=-20$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում:

$$x-4y=-20+5$$

Գումարեք -20 և 5 և ստացեք -15:

$$x-4y=-15$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Հանեք x-4y=-15 x-3y=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-x-3y+4y=2+15$$

Գումարեք x -x-ին: x-ը և -x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y+4y=2+15$$

Գումարեք -3y 4y-ին:

$$y=2+15$$

Գումարեք 2 15-ին:

$$y=17$$

Փոխարինեք 17-ը y-ով x-4y=-15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-4\times 17=-15$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 17:

$$x-68=-15$$

Գումարեք 68 հավասարման երկու կողմին:

$$x=53$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=53,y=17$$