Լուծեք {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 23y երկու կողմերից:

$$2x+y-23y=0$$

Համակցեք y և -23y և ստացեք -22y:

$$2x-22y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=89$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+89$$

Փոխարինեք -y+89-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-22y=0:

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -y+89:

$$-2y+178-22y=0$$

Գումարեք -2y -22y-ին:

$$-24y+178=0$$

Հանեք 178 հավասարման երկու կողմից:

$$-24y=-178$$

Բաժանեք երկու կողմերը -24-ի:

$$y=\frac{89}{12}$$

Փոխարինեք \frac{89}{12}-ը y-ով x=-y+89-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

Գումարեք 89 -\frac{89}{12}-ին:

$$x=\frac{979}{12}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 23y երկու կողմերից:

$$2x+y-23y=0$$

Համակցեք y և -23y և ստացեք -22y:

$$2x-22y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 23y երկու կողմերից:

$$2x+y-23y=0$$

Համակցեք y և -23y և ստացեք -22y:

$$2x-22y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=89,2x-22y=0$$

x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

Պարզեցնել:

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

Հանեք 2x-22y=0 2x+2y=178-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+2y+22y=178$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+22y=178$$

Գումարեք 2y 22y-ին:

$$24y=178$$

Բաժանեք երկու կողմերը 24-ի:

$$y=\frac{89}{12}$$

Փոխարինեք \frac{89}{12}-ը y-ով 2x-22y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

Բազմապատկեք -22 անգամ \frac{89}{12}:

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

Գումարեք \frac{979}{6} հավասարման երկու կողմին:

$$2x=\frac{979}{6}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{979}{12}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$