Լուծեք {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=8$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+8$$

Փոխարինեք -y+8-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 40x+55y=410:

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

Բազմապատկեք 40 անգամ -y+8:

$$-40y+320+55y=410$$

Գումարեք -40y 55y-ին:

$$15y+320=410$$

Հանեք 320 հավասարման երկու կողմից:

$$15y=90$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=-y+8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-6+8$$

Գումարեք 8 -6-ին:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=8,40x+55y=410$$

x-ը և 40x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 40-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

Պարզեցնել:

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

Հանեք 40x+55y=410 40x+40y=320-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

Գումարեք 40x -40x-ին: 40x-ը և -40x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$40y-55y=320-410$$

Գումարեք 40y -55y-ին:

$$-15y=320-410$$

Գումարեք 320 -410-ին:

$$-15y=-90$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով 40x+55y=410-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$40x+55\times 6=410$$

Բազմապատկեք 55 անգամ 6:

$$40x+330=410$$

Հանեք 330 հավասարման երկու կողմից:

$$40x=80$$

Բաժանեք երկու կողմերը 40-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=6$$