Լուծեք {c}{x+y=5}{2x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=5,2x-y=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=5$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+5$$

Փոխարինեք -y+5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-y=-3:

$$2\left(-y+5\right)-y=-3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -y+5:

$$-2y+10-y=-3$$

Գումարեք -2y -y-ին:

$$-3y+10=-3$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-3y=-13$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=\frac{13}{3}$$

Փոխարինեք \frac{13}{3}-ը y-ով x=-y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{13}{3}+5$$

Գումարեք 5 -\frac{13}{3}-ին:

$$x=\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=5,2x-y=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=5,2x-y=-3$$

x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2x+2y=2\times 5,2x-y=-3$$

Պարզեցնել:

$$2x+2y=10,2x-y=-3$$

Հանեք 2x-y=-3 2x+2y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+2y+y=10+3$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+y=10+3$$

Գումարեք 2y y-ին:

$$3y=10+3$$

Գումարեք 10 3-ին:

$$3y=13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=\frac{13}{3}$$

Փոխարինեք \frac{13}{3}-ը y-ով 2x-y=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-\frac{13}{3}=-3$$

Գումարեք \frac{13}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$2x=\frac{4}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$