Լուծեք {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$y-22-x+11=36$$

Գումարեք -22 և 11 և ստացեք -11:

$$y-11-x=36$$

Հավելել 11-ը երկու կողմերում:

$$y-x=36+11$$

Գումարեք 36 և 11 և ստացեք 47:

$$y-x=47$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=122,-x+y=47$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=122$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+122$$

Փոխարինեք -y+122-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+y=47:

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -y+122:

$$y-122+y=47$$

Գումարեք y y-ին:

$$2y-122=47$$

Գումարեք 122 հավասարման երկու կողմին:

$$2y=169$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{169}{2}$$

Փոխարինեք \frac{169}{2}-ը y-ով x=-y+122-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

Գումարեք 122 -\frac{169}{2}-ին:

$$x=\frac{75}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$y-22-x+11=36$$

Գումարեք -22 և 11 և ստացեք -11:

$$y-11-x=36$$

Հավելել 11-ը երկու կողմերում:

$$y-x=36+11$$

Գումարեք 36 և 11 և ստացեք 47:

$$y-x=47$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=122,-x+y=47$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$y-22-x+11=36$$

Գումարեք -22 և 11 և ստացեք -11:

$$y-11-x=36$$

Հավելել 11-ը երկու կողմերում:

$$y-x=36+11$$

Գումարեք 36 և 11 և ստացեք 47:

$$y-x=47$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=122,-x+y=47$$

Հանեք -x+y=47 x+y=122-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x+x+y-y=122-47$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$x+x=122-47$$

Գումարեք x x-ին:

$$2x=122-47$$

Գումարեք 122 -47-ին:

$$2x=75$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{75}{2}$$

Փոխարինեք \frac{75}{2}-ը x-ով -x+y=47-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

Գումարեք \frac{75}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{169}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$