Լուծեք {c}{5x+y=22}{-7x+y=-38}

$$\left. \begin{array} { c } { 5 x + y = 22 } \\ { - 7 x + y = - 38 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+y=22,-7x+y=-38$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+y=22$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-y+22$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+22\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -y+22:

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{22}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-y+22}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -7x+y=-38:

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{22}{5}\right)+y=-38$$

Բազմապատկեք -7 անգամ \frac{-y+22}{5}:

$$\frac{7}{5}y-\frac{154}{5}+y=-38$$

Գումարեք \frac{7y}{5} y-ին:

$$\frac{12}{5}y-\frac{154}{5}=-38$$

Գումարեք \frac{154}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{12}{5}y=-\frac{36}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{12}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=-\frac{1}{5}y+\frac{22}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{22}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ -3:

$$x=\frac{3+22}{5}$$

Գումարեք \frac{22}{5} \frac{3}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+y=22,-7x+y=-38$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{5}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{12}\left(-38\right)\\\frac{7}{12}\times 22+\frac{5}{12}\left(-38\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+y=22,-7x+y=-38$$

Հանեք -7x+y=-38 5x+y=22-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x+7x+y-y=22+38$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5x+7x=22+38$$

Գումարեք 5x 7x-ին:

$$12x=22+38$$

Գումարեք 22 38-ին:

$$12x=60$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$x=5$$

Փոխարինեք 5-ը x-ով -7x+y=-38-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-7\times 5+y=-38$$

Բազմապատկեք -7 անգամ 5:

$$-35+y=-38$$

Գումարեք 35 հավասարման երկու կողմին:

$$y=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-3$$