Լուծեք {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$40x+60y=480$$

Հանեք 60y հավասարման երկու կողմից:

$$40x=-60y+480$$

Բաժանեք երկու կողմերը 40-ի:

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{40} անգամ -60y+480:

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+12-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 30x+15y=180:

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

Բազմապատկեք 30 անգամ -\frac{3y}{2}+12:

$$-45y+360+15y=180$$

Գումարեք -45y 15y-ին:

$$-30y+360=180$$

Հանեք 360 հավասարման երկու կողմից:

$$-30y=-180$$

Բաժանեք երկու կողմերը -30-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 6:

$$x=-9+12$$

Գումարեք 12 -9-ին:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

40x-ը և 30x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 30-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 40-ով:

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

Պարզեցնել:

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

Հանեք 1200x+600y=7200 1200x+1800y=14400-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

Գումարեք 1200x -1200x-ին: 1200x-ը և -1200x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$1800y-600y=14400-7200$$

Գումարեք 1800y -600y-ին:

$$1200y=14400-7200$$

Գումարեք 14400 -7200-ին:

$$1200y=7200$$

Բաժանեք երկու կողմերը 1200-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով 30x+15y=180-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$30x+15\times 6=180$$

Բազմապատկեք 15 անգամ 6:

$$30x+90=180$$

Հանեք 90 հավասարման երկու կողմից:

$$30x=90$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=6$$