Լուծեք {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y=5$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y+5:

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y+5}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+2y=7:

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{-y+5}{3}:

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

Գումարեք \frac{2y}{3} 2y-ին:

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

Գումարեք \frac{10}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{8}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{31}{8}$$

Փոխարինեք \frac{31}{8}-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ \frac{31}{8}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

Գումարեք \frac{5}{3} -\frac{31}{24}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{3}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

3x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Պարզեցնել:

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

Հանեք -6x+6y=21 -6x-2y=-10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

Գումարեք -6x 6x-ին: -6x-ը և 6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y-6y=-10-21$$

Գումարեք -2y -6y-ին:

$$-8y=-10-21$$

Գումարեք -10 -21-ին:

$$-8y=-31$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$y=\frac{31}{8}$$

Փոխարինեք \frac{31}{8}-ը y-ով -2x+2y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{31}{8}:

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

Հանեք \frac{31}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=\frac{3}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$