Լուծեք {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-6$$

$$y=13$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y+5=0$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$3x+y=-5$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y-5:

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y-5}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x-y+1=0:

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{-y-5}{3}:

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

Գումարեք \frac{2y}{3} -y-ին:

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

Գումարեք \frac{10}{3} 1-ին:

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

Հանեք \frac{13}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -3-ով:

$$y=13$$

Փոխարինեք 13-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ 13:

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

Գումարեք -\frac{5}{3} -\frac{13}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-6,y=13$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-6,y=13$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

3x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

Պարզեցնել:

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

Հանեք -6x-3y+3=0 -6x-2y-10=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

Գումարեք -6x 6x-ին: -6x-ը և 6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y+3y-10-3=0$$

Գումարեք -2y 3y-ին:

$$y-10-3=0$$

Գումարեք -10 -3-ին:

$$y-13=0$$

Գումարեք 13 հավասարման երկու կողմին:

$$y=13$$

Փոխարինեք 13-ը y-ով -2x-y+1=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-13+1=0$$

Գումարեք -13 1-ին:

$$-2x-12=0$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-6,y=13$$